Поиск информации — одно из основных использований компьютера. Одна из простейших задач поиска информации — поиск точно заданной подстроки в строке. Тем не менее, эта задача чрезвычайно важна — она применяется в текстовых редакторах, СУБД, поисковых машинах…

С поиском подстроки мы встречаемся постоянно. Всем любимый ctrl+f, это именно то, что нам нужно.
Часто ли вы задумывались, а как оно работает? Многие из Вас, наверняка, скажут, что если потребуется — сделаем.
Большинство, думаю, решат эту задачу в лоб и для наглядности я покажу, как это сделать.

Прямой поиск, или, как еще часто говорят, «просто взять и поискать» — это первое решение, которое приходит в голову неискушенному программисту. Суть проста: идти по проверяемой строке A и искать в ней вхождение первого символа искомой строки X. Когда находим, делаем гипотезу, что это и есть то самое искомое вхождение. Затем остается проверять по очереди все последующие символы шаблона на совпадение с соответствующими символами строки A. Если они все совпали — значит вот оно, прямо перед нами. Но вот если какой-то из символов не совпал, то ничего не остается, как признать нашу гипотезу неверной, что возвращает нас к символу, следующему за вхождением первого символа из X.

Многие люди ошибаются в этом пункте, считая, что не надо возвращаться назад, а можно продолжать обработку строки A с текущей позиции. Почему это не так, легко продемонстрировать на примере поиска X=«AAAB» в A=«AAAAB». Первая гипотеза нас приведет к четвертому символу A: «AAAAB», где мы обнаружим несоответствие. Если не откатиться назад, то вхождение мы так и не обнаружим, хотя оно есть.
Неправильные гипотезы неизбежны, а из-за таких откатываний назад, при плохом стечении обстоятельств, может оказаться, что мы каждый символ в A проверили около |X| раз. То есть вычислительная сложность сложность алгоритма O(|X||A|). Так поиск фразы в параграфе может и затянуться…

Справедливости ради следует отметить, что если строки невелики, то такой алгоритм может работать быстрее «правильных» алгоритмов за счет более предсказуемого с точки зрения процессора поведения.

А вот и реализация:

def stringSearch(s, x):
    i=j=0
    lengthS = len(s)# Длина строки в которой ищем
    lengthX = len(x)# -||- которую ищем
    # пока не достигли одного из концов
    while i<=lengthS - lengthX and j>lengthx:
     # если совпали буквы продвигаемся по обеим строкам
        if li[i+j]==x[j]:
            j+=1
        # иначе двигаемся по строке(+1), начиная с 0 символа подстроки
        else:
            i+=1
            j=0
    # если дошли до конца подстроки - нашли, иначе - нет
    return i if j==lengthX else None

Алгоритм прост и тривиален, а главное, как было замечено выше, зачастую неплохо работает, особенно, когда строка поиска не сильно велика.
Разобравшись с прямым подходм, давайте  посмотрим, как решать эту задачу — правильно.
Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта (КМП)
Алгоритм Бойера — Мура

Используемая литература:

1. Википедия
2. habrahabr

Алгоритм был разработан Кнутом (Knuth) и Праттом (Pratt) и независимо от них Моррисом (Morris) в 1977 г.

Он относится к «правильным» подходам решения поставленной задачи, в отличии от тривиального подхода, рассмотренного ранее.

Данный подход хоть и считается достаточно тривиальным, описания, которые нашел я, зачастую пестрят математическими основами и доказательствами, которые сбивают с сути. Так в книге, уважаемого Никлауса Вирта, приводится описание, которое я так и не одолел.
Однако я нашел пару статей, которые достаточно информативны, они приведены в ссылках и рекомендуемы для ознакомления.

Для понимания: Префикс строки A[..i] — это строка из i первых символов строки A. Суффикс строки A[j..] — это строка из |A|-j+1 последних символов. Подстроку из Aбудем обозначать как A[i..j], а A[i] — i-ый символ строки. 

В статье http://habrahabr.ru/post/111449/ сказано:

Идея КМП-поиска – при каждом несовпадении двух символов текста и образа образ сдвигается на все пройденное расстояние, так как меньшие сдвиги не могут привести к полному совпадению.

Многие люди ошибаются в этом пункте, считая, что не надо возвращаться назад, а можно продолжать обработку строки A с текущей позиции. Почему это не так легко продемонстрировать на примере поиска X=«AAAB» в A=«AAAAB». Первая гипотеза нас приведет к четвертому символу A: «AAAAB», где мы обнаружим несоответствие. Если не откатиться назад, то вхождение мы так и не обнаружим, хотя оно есть.

Для реализации данного алгоритма, нам необходимо рассмотреть, так называемую, префикс функцию.

Префикс-функция — это массив чисел, вычисляющийся, как наибольшая длина суффикса, совпадающего с её префиксом. Как пример, берем каждый возможный префикс строки и смотрим самое длинное совпадение начала с концом префикса (не учитывая тривиальное совпадение самого с собой).

Вот пример для «ababcaba»:

Итак, идея ясна? Ну тогда попробум написать префикс функцию в лоб:

def predkompil(x):
    #первый символ всегда 0, поэтому заносим и пропускаем
    d = {0:0}
    for i in xrange(1,len(x)):
     # проходоим от конца к началу
        j = i
        sdvig = 0
        while j>0:
            j -= 1
            if x[j] == x[i-sdvig]:
                sdvig += 1
            else:
                j += sdvig
                sdvig = 0
        d[i] = sdvig
    return d

Вроде работает, но как то много сравнений и проходов. Попробуем оптимизировать.
Начать можно с замены строки j = i, на j = d[i-1]+1.

Что нам это дает? А то, что незачем просматривать каждый раз с конца и до начала.  Можно заметить, что если мы на предыдущем шаге (i-1) нашли вхождение > 0 (d[i-1]), то и начинать стоит с данной позиции (d[i-1]).

Пример:

При i=4 ABAAB -> 2, тогда на i+1, т.е. i=5  смотрим не с j=i(5), а с 3! Т.к. либо счетчик вырастет и станет 3 в случае ABAABA, либо сбросится в 0 при любой другой букве.
И хотя мы делаем меньше сравнений(пропускаем середину слова), однако весь совпадающий префикс мы проходим, что не есть хорошо.

Это уже не плохо, однако, мы с Вами так и не научились использовать  информацию, полученную на предыдущих и